Apresentação para defesa de dissertação de mestrado
Candidato: Thiago Luiz Chaves de Melo
Orientadora: Profa. Dra. Euzi Conceição Fernandes da Silva
Em nossos primeiros cálculos, pequenas variações:
causavam grandes diferenças nos resultados (fotocorrente e absoção)
É um problema simples de EDP:
$$ -\frac{\hbar^2}{2m_e} \frac{\partial^2 \psi(z,t)}{\partial z^2} = i \hbar \frac{\partial \psi(z,t)}{\partial t}, $$para:
$$ \psi(z,0) = \frac{1}{ \sqrt[4]{ 2 \pi \sigma_{z}^2 }} \exp \left( i k_\mathrm{0} z - \frac{{\left( z - z_\mathrm{0} \right)}^2}{4 \sigma_{z}^2} \right). $$Este problema possui algumas soluções analíticas, mas também pode ser tratado por Diferenças Finitas:
Ou pelo operador de evolução temporal:
. $$ \Psi(z,t) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \left\{ \mathcal{F}[\Psi(z,0)] \, e^{- i \omega(k) t} \right\} \, e^{i kz} \, dk, $$
$$ E(k) = \hbar\omega(k)=\frac{\hbar^2 k^2}{2m} \rightarrow \omega(k)=\frac{\hbar k^2}{2m} $$. $$ \Psi(z,t) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} dx' \, J(x,t;x',0) \Psi(z',0) $$
$$ J(x,t;x',t') = \langle x | e^{-\frac{i \mathcal{H}\Delta t}{\hbar}} | x' \rangle $$$$ H = -\frac{\hbar^2}{2m_e} \frac{\partial^2 \psi(z,t)}{\partial z^2} $$psi_k = fft(psi)
omega_k = k_au ** 2 / 2
psi = ifft(psi_k * np.exp(-1j * omega_k * t_au))
Para os métodos:
evoluímos um pacote de onda de energia $E=150$ eV da posição inicial $z_\mathrm{i} = -20.0$ Å até a posição final $z_\mathrm{f} \approx +20.0$ Å.
Variamos para cada método:
Observamos:
# L=100.0, N=1024, dt=1e-18
fig = evolui_pacote_de_onda(pd.read_pickle('saidas/onda_plana_parametro_bom.pkl'))
iplot(fig, filename='Evolucao bons parametros')
# L=850.0, N=256, dt=1e-16
fig = evolui_pacote_de_onda(pd.read_pickle('saidas/onda_plana_parametro_ruim.pkl'))
iplot(fig, filename='Evolucao mals parametros')
Utilizamos a métrica de Minkowski com $p=3$ para verificar que o método Pseudo-Espectral é substancialmente mais rápido e mais preciso para a maioria das combinações de parâmetros:

py.iplot(fig, filename='jupyter-parametric_plot')